やっと解いた。やっと解けた。

過去にも折に触れて考えてきた問題だったのだが（→ id:owl:20051103:day2 , id:owl:20040104:p2）、本日、余計なことをひたすら考えて過ごそうというふうに決めたので、永年の懸案であったこの問題と取り組むこととした。
…しかし、気が付くと悶々と余計なことを考えていたりする。変な歌が頭の中で力一杯再生されていたりする。そのたびにリセット、最初から考え直し。ただし、努力の甲斐あって、ついに解けた。やっぱりなんのことはなかった。以下その解説。別に面白くも何ともないので（などという日頃の当研究所もろとも全否定するような発言をしているわけですが）「つい」読んでしまわないように（さして長文でもないが）括っておく。現時点でもう読んでしまった方ごめんなさい。

↓ 以下、それ。

「例外のない命題は存在しない」という命題は自己矛盾命題であるとされているが、実は自己矛盾しない

以前考えていた方向性としては「例外のない命題は存在しない」の「例外」であるところの「例外のない命題が存在する」という命題が示す「例外のない命題」が「例外のない命題は存在しない」という命題そのものであるというものだったが、これでは「例外のない命題は存在しない」という命題にも例外が存在することになってしまい、「例外のない命題は存在しない」が「例外のない命題」ではないことになってしまう。つまり「例外のない命題は存在しない」の例外が存在しないことになってしまう。要するに、循環し解決を見ない点では↓下記の論理循環と比較しても大して改善されていない。また、導出された命題である「例外のない命題が存在する」を真とした場合、ではどの程度の個数の命題がこれを満たすのか、仮に「例外のない命題は存在しない」がこれを満たすとしてではこれが唯一なのかどうか、加えて自分自身を持ち出す論拠はどこにあるのか、などが未解決であった。

「例外のない命題は存在しない」という命題が自己矛盾命題であるという（一般的な）説明

「例外のない命題は存在しない」
→全ての命題には例外が存在する
→「例外のない命題は存在しない」にも例外が存在する
→「例外のない命題は存在しない」の例外は「例外のない命題が存在する」
→自己矛盾

上記説明の問題点

4番の推論が誤り。「例外のない命題は存在しない」の例外は「例外のない命題が存在する」ではない。これは「例外」ではなく逆命題（他方が「必ず真」の場合もう他方が「必ず偽」となる命題の組）、言い換えれば、全否定である。
「例外のない命題は存在しない」の例外とは、「例外のない命題は存在しない」、即ち、「自分自身」である。命題の形式に下すと「「例外のない命題は存在しない」という命題の適応ができない命題は存在する」である。即ち、例外の存在について議論できないのでしない（省略する）という立場。

唯一性と任意性の問題

条件に合致する命題として自分自身を導入する理由付けについては、それが「例外そのもの」であるということにより任意性を担保されうる。また反証は 1つ示せば充分であることから最低ひとつという考え方であり、唯一性は保証されていない。しかしそのことが大勢には影響しない。

結論

「例外のない命題は存在しない」という命題は、自身を例外とする完結命題である。
…言葉で書くとまだ解ってないっぽくなるのがなんとも歯痒い。頭の中では一応シンプルに繋がっているので、ここはここで再び思い出す際の手掛かりというか、単なる覚え書きというか…のまま、とりあえず打ち止め。
ただまあ、意外とつまんない感じになってしまいプチしょぼーん。(´・ω・`)